OME-1998-P5

Enunciado

Atopa todas as funcións estritamente crecentes $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ tales que $f(n+f(n))=2f(n)$.

---

Resolución

Solución

Supoñamos que $f(1)=k$, nese caso $f(1+f(1))=2f(1)$, é dicir $f(1+k)=2k$. Polo tanto podemos contruir a seguinte cadea de desigualdades:

$k=f(1)<f(2)<\dots <f(1+k)=2k$

E como temos que as k+1 imaxes dos números entre 1 e 1+k están comprendidas entre k e 2k e que a función e estritamente crecente concluimos que a función ten a forma $f(n)=n-1+k$ neses valores. Utilzando inducción e razoamentos análogos concluiremos que existen infinitas funcións que cumpren esa condición sendo todas da forma $f(n)=n-1+k$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!