OME-2000-P6

Enunciado

Atopa todas as funcións $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que $f(f(n))=n+1$.

---

Resolución

$f(0)=a$ e tratemos de deducir o valor en base a iso en todo punto.

Supoñamos que

Solución

Supoñamos que $f(0)=a$, utilizando a definición podemos deducir as seguintes igualdades. $f(0)=a\Rightarrow 1=f(f(0))=f(a)\Rightarrow a+1=f(f(a))=f(1)\Rightarrow$ $\Rightarrow 2=f(f(1))=f(a+1)\Rightarrow a+2=f(f(a+1))=f(2)$ Probemos por inducción que f(n)=a+n. Para $f(0)=a$ cúmprese por definición. Supoñamos que se cumpre para f(n) e vexamos se pasa para f(n+1): $f(f(n))=f(a+n)=n+1\Rightarrow f(f(a+n))=f(n+1)=a+n+1$ Por último comprobemos cal pode ser o valor de a:

f(f(n))=n+1 \\ f(f(n))=f(a+n)=a+a+n \end{aligned} \right \} \Rightarrow a+a+n=n+1 \Rightarrow2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$$ Pero $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ polo que non existe ningunha.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!