OME-2004-P6

Enunciado

Colócanse 2004 fichas brancas por un lado e negras polo outro nunha circunferencia. Ao comezo todas salvo unha teñen a cara branca cara arriba. Podemos realizar un movemento que consiste en seleccionar unha ficha que teña a cara negra cara arriba e darlle a volta tanto á ficha escollida, como ás dúas adxacentes. Poderíamos empregando este movemento chegar a que tódalas fichas teñan a cara branca cara arriba?

---

Resolución

Pista

Redución ao absurdo. Empregando $N$ (o número total de movementos).

Solución

Imos proceder por reducción ao absurdo comprobando que $N:=$ ”número total de movementos” ten que ser par e impar a un tempo. Comezamos vendo que ten que ser impar. Verificando os 4 casos podemos comprobar que a cada movemento cambia a paridade do número de fichas coa cara negra cara arriba. Polo tanto, $N$ deberá ser impar, xa que comezamos cun número impar (1) de fichas coa cara negra cara arriba. Vemos agora que $N$ tamén ten que ser par. Para iso primeiramente introducimos algo de notación. Denotamos por $x_i$ ao ”número de movementos centrados en $i$”, é dicir, ao número de movementos aplicados na ficha $i$-ésima. Polo tanto, $N=\underset{c_2}{\underbrace{x_1+x_2+x_3}}+\underset{c_5}{\underbrace{x_4+x_5+x_6}}+x_7+\cdots +x_{2001}+\underset{2003}{\underbrace{x_{2002}+x_{2003}+x_{2004}}}.$ Comprobamos que $x_{i-1}+x_i+x_{i+1}=c_i$ que é o número de veces que cambia de cor a ficha $i$-ésima. Se comezamos numerando pola ficha que inicialmente ten a cara negra cara arriba, entón as fichas: $\{2,5,8,\dots ,2003\}$, eran tiñan todas a cara branca cara arriba ao comezo, e polo tanto, se ao final tamén teñen a cara branca cara arriba o número de veces que cambiaron de cor ($c_i$) ten que ser par. E polo tanto, $N$ terá tamén que ser par.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!