OME-2020-P1

Enunciado

Un polinomio $p\in \mathbb{R}[x]$ dise ”almeriense” se é da forma: $p(x)=x^3+a{x}^2+bx+a$ e as súas raíces son reais positivas en progresión aritmética. Atopa todos os polinomios desta forma con $p(\frac{7}{4})=0$.

---

Resolución

Pista

Utilizar as fórmulas de Cardano-Vieta.

Solución $\alpha -\delta$, $\alpha$, $\alpha +\delta$ con $\delta \ge 0$. Agora ben, por Cardano-Vieta, e tendo en conta que son as tres positivas: $(\alpha -\delta )\alpha (\alpha +\delta )=-a=3\alpha \Rightarrow (\alpha -\delta )(\alpha +\delta )=-a=3$ Como o enunciado dá unha das raíces, é cuestión de considerar tres casos.

Como as raíces están en progresión aritmética podemos escribilas como:

• $\alpha -\delta =\frac{7}{4}$ que coa condición anterior implica $\alpha -\delta =\frac{7}{4}$ e resolvendo o sistema chegamos a $\delta =\frac{-1}{56}<0$ que nos da unha contradición.
• $\alpha =\frac{7}{4}$ co cal ${\delta }^2=\frac{1}{4}$. Neste caso chegamos a que as raíces son $(\frac{3}{2},\frac{7}{4},2)$ e o polinomio correspondente: $p(x)=(x-\frac{3}{2})(x-\frac{7}{4})(x-2)=x^3-\frac{21}{4}{x}^2+\frac{73}{8}x-\frac{21}{4}$
• $\alpha +\delta =\frac{7}{4}$ co cal $\alpha -\delta =\frac{12}{7}$ que resolvendo o sistema e calculando o polinomio análogamente nos dá a outra solución: $p(x)=x^3-\frac{291}{56}{x}^2+\frac{14113}{1568}x-\frac{291}{56}$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!