OME-2024-P1

Enunciado

Sexan $p_1,\dots ,p_{2024}$ 2024 primos distintos tales que $p_1+\cdots +p_{1012}=p_{1013}+\cdots +p_{2024}$. Se $A=p_1\cdots p_{1012}$ e $B=p_{1013}\cdots p_{2024}$, demostra que $|A-B|\ge 4$.

---

Resolución

Solución

Como as factorizacións son distintas, necesariamente $A\ne B$. Comecemos supoñendo que $2$ está nalgunha das factorizacións. Nese caso (supoñendo que 2 sexa un dos primeiros 1012 primos) é claro que $p_1+\cdots +p_{1012}$ é impar, mentres que $p_{1013}+\cdots +p_{2024}$ sería par. Polo tanto 2 non pode ser ningún dos primos anteriormente ditos. Denotemos $n_A$ e $n_B$ a cantidade de primos equivalentes a 3 módulo 4 que hai nos conxuntos $\{p_1,\dots ,p_{1012}\}$ e $\{p_{1013},\dots ,p_{2024}\}$. O resto, obviamente serán equivalentes a 1 módulo 4. Así, tense que: $3n_A+(1012-n_A)\equiv 3n_B+(1012n_B)(\mathrm{mod}4).$ Así, $2n_A\equiv 2n_B(\mathrm{mod}4)$, logo $n_A$ e $n_B$ teñen a mesma paridade. Desta forma, $A\equiv 3^{n_A}\cdot 1^{1012-n_A}\equiv 3^{n_B}\cdot 1^{1012-n_B}\equiv B(\mathrm{mod}4)$ En consecuencia, como $A$ e $B$ son distintos e como a súa diferenza é múltiplo de 4, esta debe ser polo menos 4.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!