OMFG-2025-P1

Enunciado

Sexa $x$ un número real que cumpre que

$$x^3+\frac{1}{x^3}=52.$$

Demostrar que

$$x+\frac{1}{x}$$

é un número enteiro e determinar o seu valor.

---

Resolución

Solución 1

Polo teorema do binomio de Newton temos que ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)$ Poñendo $t=x+\frac{1}{x}$ e empregando a condición do enunciado, a ecuación anterior escríbese como $t^3=52+3t,$que é equivalente a $t^3-3t-52=0.$ Analizando os divisores do termo independete, vemos que $t=4$ é unha raíz de $t^3-3t-52=0;$ dividindo por Ruffini, quédanos que $t^3-3t-52=(t-4)(t^2+4t+13).$ Como $t^2+4t+13=0$ non ten ningunha solución real, vemos que a ñunica opción é $t=4$ o que demostra que $x+\frac{1}{x}=4.$

Solución 2

Poñendo $x^3=y,$ quédanos que a ecuación se escribe como $y^2-52y+1=0,$ polo que $y=26\pm 15\sqrt{3}.$ Se escollemos $y=26+15\sqrt{3}$ quédanos que $y^{-1}=26-15\sqrt{3}$, e viceversa. Polo tanto, $x=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}$ e $x^{-1}=\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$ e o resultado buscado é $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}},$ que non é obvio que sexa un enteiro. Chamándolle $z$ a ese número, temos que $z^3=52+3z,$ xa que $x{x}^{-1}=1$. Polo tanto, temos a nova ecuación $z^3-3z-52=(z-4)(z^2+4z+13),$ que ten por única solución real $z=4$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!