OMFG-2025-P3

Enunciado

Sexa $\square ABCD$ un rectángolo con lado $|\overline{AB}|=3$ e lado $|\overline{BC}|=2$. Sexa $M$ o punto medio do lado $\overline{BC}$. Sexa $P$ o único punto do lado $\overline{AB}$ que cumpre que a recta $\overline{DM}$ é a bisectriz do ángulo $\widehat{PDC}$. Determinar a lonxitude do segmento $\overline{PB}$.

---

Resolución

Solución 1

Sexa $\alpha =\angle CDM=\angle MDP$. Temos que $\sin \alpha 0\frac{1}{\sqrt{10}},\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}.$ Poñendo $x=|PB|$, temos que $|AP|=3-x$. Pola súa banda, no triángulo $ADP$ tense que $\angle ADP=90^{\circ }-2\alpha$. Isto quere dicir que $\cos (90^{\circ }-2\alpha )=\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{5}.$ Agora ben, $\cos (90^{\circ }-2\alpha )=\frac{2}{\sqrt{4+(3-x{)}^2}}.$ Igualando as dúas expresións e elevando ao cadrado tense que $4+(3-x{)}^2=\frac{100}{9}.$ Tendo en conta que $0<x<3$, quédanos que $x=\frac{1}{3}$.

Solución 2

Como os triángulos $MCD$ e $MBA$ son iguais, cúmprese que $\angle MAP=\angle CDM=\angle MDP$. Iso quere dicir que o cuadrilátero $MDAP$ é cíclico, é dicir, que existe unha circunferencia que pasa polos catro puntos. Comos $\angle DAP=90^{\circ }$, temos tamén que $\angle DMP=90^{\circ }$. Isto quere dicir que $MP$ é perpendicular a $MD$. De aquí dedúcese que $\angle BMP=\angle CDM$, polo que os triángulos $MCD$ e $PBM$ son semellantes. En particular, $\frac{|PB|}{|BM|}=\frac{|MC|}{|CD|}=\frac{1}{3},$ de onde se conclúe que $|PB|=\frac{1}{3}\cdot |BM|=\frac{1}{3}.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!