OMG-2008-P11

Enunciado

Sexan $D$, $E$ e $F$ os puntos de tanxencia da circunferencia inscrita ao triángulo $ABC$ cos lados $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ respectivamente. Demostra que: $4S_{DEF}\le S_{ABC},$ onde $S_{XYZ}$ denota a área do triángulo $XYZ$.

---

Resolución

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin \hat{A},$ a varios triángulos da figura, para logo rematar obtendo o resultado logo de aplicar as outras fórmulas para a superficie do triángulo:

Aplicar primeriamente a fórmula da superficie dun triángulo:

• (\displaystyle S = \frac{r(a+b+c)}{2}).
• (\displaystyle S = \frac{abc}{4R}). E a desigualdade de Euler entre os racios circunscrito e inscrito: (R \geq 2r).

Solución

Como temos que probar unha desigualdade podemos empregar dúas expresións, a desigualdade triangular ($a\le b+c$) ou a desigualdade de Euler ($R\ge 2r$), neste caso empregaremos esta última. Vemos un debuxo da construcción do enunciado: Para comezar, expresaremos $S_{DEF}$ e $S_{ABC}$ en función de $a$, $b$ e $c$ empregando as fórmulas da área: ${\mathbf{S}}_{\mathbf{ABC}}=\frac{1}{2}\mathbf{bc}\sin \hat{\mathbf{A}}$ $S_{FIE}=\frac{1}{2}{r}^2\sin (180º-\hat{A})\stackrel{\sin (180º-\hat{A}=\sin \hat{A})}{⟹}{\mathbf{S}}_{\mathbf{FIE}}=\frac{1}{2}{\mathbf{r}}^2\sin \hat{\mathbf{A}}$ Entón, se dividimos ambas expresións obtemos: $\frac{S_{FIE}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{bc}$ Analogamente: $\frac{S_{IED}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{ab};\frac{S_{DIF}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{ac}$ Sumando as tres expresións: $\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\frac{S_{FIE}}{S_{ABC}}+\frac{S_{IED}}{S_{ABC}}+\frac{S_{DIF}}{S_{ABC}}=\frac{{\mathbf{r}}^2(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})}{\mathbf{abc}}$ Agora empregamos outras fórmulas da área coa idea de eliminar $a$, $b$ e $c$ da ecuación e engadirlle $R$: $r(a+b+c)=2S_{ABC};4RS=abc$ Substituímos na ecuación: $\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\frac{2r\cdot \cancel{S_{ABC}}}{4R\cdot \cancel{S_{ABC}}}\Rightarrow 4R\cdot S_{DEF}=2r\cdot S_{ABC}\stackrel{R\ge 2r}{⟹}4{\mathbf{S}}_{\mathbf{DEF}}\le {\mathbf{S}}_{\mathbf{ABC}}$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!