OMG-2008-P8

Enunciado

No triángulo $△ABC$, a área $S$ e o ángulo $\hat{C}$ son coñecidos. Atopa o valor dos lados $a$ e $b$ para que o lado $c$ sexa o máis curto posible.

---

Resolución

Pista

Empregar a fómula para a área do triángulo dada por: $S=\frac{1}{2}ab\sin \hat{C},$ seguida do teorema do coseno.

Solución

Polo enunciado, empregamos unha das fórmulas da área: $S=\frac{1}{2}ab\sin \hat{C}\Rightarrow \mathbf{ab}=\frac{2\mathbf{S}}{\sin \hat{\mathbf{C}}}.$ Empregando o teorema do Coseno, e logo manipulando para quedarnos cun cadrado que minimizar: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \hat{C}\Rightarrow c^2=(a-b{)}^2+2ab-2ab\cos \hat{C}\Rightarrow {\mathbf{c}}^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2+2\mathbf{ab}(1-\cos \hat{\mathbf{C}}).$ Agora xuntamos ambas expresións obtendo a situación desexada: $c^2=(a-b{)}^2+2\frac{2S}{\sin \hat{C}}(1-\cos \hat{C}).$ Agora como $(a-b{)}^2\ge 0$ o valor de $c$ será o menor posible cando $(a-b{)}^2=0\Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{b}$; polo tanto: $a^2=\frac{2S}{\sin \hat{C}}\Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{b}=\sqrt{\frac{2\mathbf{S}}{\sin \hat{\mathbf{C}}}}.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!