OMG-2011-P1

Enunciado

Algúns anos pódense expresar como sumas, restas e multiplicacións de números cun mesmo e único díxito, por exemplo: $2009=7\times 7\times 7\times 7-7\times 7\times 7-7\times 7$ $2010=66\times 6\times 6-66\times 6+6\times 6-6.$ Poderíase facer algo semellante co 2011 sen repetir sumandos iguais? (Por exemplo, non sería admisible: $2011=1+1+1+\dots$). E para o 2023? De cantas formas?

---

Resolución

Pista

O díxito que empreguemos ten que dividir ao ano.

Solución

Se 2011 se puidese expresar como sumas, restas e multiplicacións de números co mesmo díxito $a$, como cada un destes números é divisible por $a$, tense que $a$ é divisor de $2011$. Agora ben, $2011$ é un número primo, polo tanto, $a=1$. É sinxelo observar que:

$$1000=1111-111,\text{ e }2=111-11\times 11+11+1.$$

Multiplicando ambas igualdades temos: $2000=1111\times 111-1111\times 11\times 11+1111\times 11+1111-111\times 111+111\times 11\times 11-111\times 11-111.$ Vemos que tódolos sumandos son distintos entre si, e distintos de $11$. Polo tanto, sumando $11$ ao número anterior tense unha solución. Outras solucións válidas serían: $2023=7\times 7\times 7\times 7-7\times 7\times 7-77+7\times 7-7,$ $2023=77777\times 7-777\times 777+7777\times 7-77\times 77+7777+777\times 7-7\times 7\times 7-77+7.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!