OMG-2011-P4

Enunciado

Calcular tódolos números $a,b,c\in \mathbb{Z}$ e tales que: $a^2=2b^2+3c^2.$

---

Resolución

Pista

Considerar módulo $3$ e razoar sobre a recurrencia das solucións con descenso infinito.

Solución

Sexa $(a,b,c)$ unha solución distinta de $(0,0,0)$, con $|a|+|b|+|c|$ mínimo. Tomando a igualdade módulo $3$, temos $a^2=2b^2\mathrm{mod}3$. Como $a^2$ e $b^2$ só poden ser congruentes con $1$ ou con $0$ (por seren cadrados), dedúcese que $a$ e $b$ son múltiplos de 3. Polo tanto, $3c^2$ é múltiplo de $9$, así que $c$ tamén é múltiplo de $3$. Pero entón, $(a/3,b/3,c/3)$ sería outra solución con $0\ne |a/3|+|b/3|+|c/3|<|a|+|b|+|c|$, chegando a un absurdo, e sendo $(0,0,0)$ a única solución.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!