OMG-2013-P1

Enunciado

Atopar tódalas solucións enteiras da ecuación: $y^k=x^2+x,$ onde $k$ é un enteiro dado maior que $1$.

---

Resolución

Pista

Factorizar o termo dereito.

Solución

Desenvolvemos a ecuación:

$$y^k=x^2+x\Rightarrow {\mathbf{y}}^{\mathbf{k}}=\mathbf{x}(\mathbf{x}+1).$$

Polo tanto, como $\text{mcd}(x,x+1)=1$, é dicir, que non comparten factores primos. Ademais, ambos números teñen que ser produto de potencias de primos con expoñente un múltiplo $k$. Desta forma, como con $k>1$ as únicas parellas de números consecutivos desta forma son $-1$ e $0$ ou $0$ e $1$. Finalmente, as dúas únicas solucións á ecución son $(0,0)$ e $(-1,0)$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!