OMG-2016-P1

Enunciado

Con baldosas cadradas de lado un número exacto de unidades púidose embaldosar unha habitación de superficie 18144 unidades cadradas da seguinte maneira: o primeiro día púxose unha baldosa, o segundo dúas baldosas, o terceiro tres$\dots$ Cantas baldosas foron necesarias?

---

Resolución

Pista

Considerar os distintos casos segundo a factorización en números primos de $18144$.

Solución

Factorizando en números primos tense $18144=2^5\cdot 3^4\cdot 7$. Desta forma, sendo $k$ o lado das basldosas, tense que $18144=k^2\cdot x$, onde: $k^2=[1^2,2^2,3^2,2^4,3^4,2^2\cdot 3^2,2^4\cdot 3^2,2^2\cdot 3^4]=[1,4,9,16,81,36,144,324],$ sendo: $\frac{18144}{k^2}=[18144,4536,2016,1134,224,504,126,56].$ Ademais, sabemos que o termo xeral da serie $1+2+3+\cdots =\frac{n(n+1)}{2}$. Agora só resta comprobar os distintos valores de $k^2$ para despexar $n$ no termo xeral anterior, tal que: $n(n+1)-2\cdot \frac{18144}{k^2}=0$ para un $n\in N$:

$$\begin{array}{rl}{n}^2+n-2\cdot 18144& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 36288}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{23\cdot 6311}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 4536& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 9072}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1\cdot 3299}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 2016& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 4032}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm 127}{2}\Rightarrow n=63\in \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 1134& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 2268}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{43\cdot 211}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 224& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 448}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{11\cdot 163}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 504& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 1008}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm 2^3\cdot 3\cdot \sqrt{7}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 126& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 252}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1009}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}\\ n^2+n-2\cdot 56& =0\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 112}}{2}\Rightarrow n=\frac{-1\pm \sqrt{449}}{2}\Rightarrow n\notin \mathbb{N}.\end{array}$$

Polo tanto, foron necesarias $x=\frac{18144}{9}=648$ baldosas de lado $k=9$ unidades e $n=63$ días.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!