OMG-2016-P14

Enunciado

Sexan $C$ e $C^{\prime }$ dúas circunferencias tanxentes exteriores con centros $O$ e $O^{\prime }$ e radios 1 e 2 respectivamente. Dende $O$ trázase unha tenxente a $C^{\prime }$ con tanxencia no punto $P^{\prime }$ e dende $O^{\prime }$ trázase unha tanxente a $C$ con punto de tanxencia en $P$ no mesmo semiplano que $P^{\prime }$ con respecto á recta que pasa por $O$ e $O^{\prime }$. Calcula a área do triángulo $OX{O}^{\prime }$, onde $X$ é o punto de corte de $\overline{O^{\prime }P}$ e $\overline{O{P}^{\prime }}$.

---

Resolución

Pista

Aplicar semellanza de triángulos.

Solución

Aplicando o teorema de pitágoras nos triángulos $OP{O}^{\prime }$ e $O{P}^{\prime }{O}^{\prime }$: $3^2=1^2+{\overline{P{O}^{\prime }}}^2\Rightarrow \overline{P{O}^{\prime }}=2\sqrt{2}$ $3^2=2^2+{\overline{O{P}^{\prime }}}^2\Rightarrow \overline{O{P}^{\prime }}=\sqrt{5}$ Agora fixámonos nos triángulos $OP{O}^{\prime }$ e $O{P}^{\prime }{O}^{\prime }$: ambolosdous son rectángulos, comparten o ángulo $\hat{X}=\widehat{OXP}=\widehat{O^{\prime }X{P}^{\prime }}$ e $\overline{OP}$= $\overline{O^{\prime }{P}^{\prime }}/2$. Polo tanto os triángulos $OP{O}^{\prime }$ e $O{P}^{\prime }{O}^{\prime }$ son semellantes con razón de semellanza $\overline{O^{\prime }{P}^{\prime }}/\overline{OP}=2$. Desta forma aplicando o anterior temos: \displaystyle{\left\{\begin{array}{c} S_{OXO'}+S_{XP'O'}= \frac{1}{2}\cdot\overline{O'P'}\cdot\overline{OP'}=\sqrt{5} \\ S_{OXO'}+S_{XPO}=\frac{1}{2}\cdot\overline{OP}\cdot\overline{PO'}=\sqrt{2}\end{array}\right\} \stackrel{4\cdot S_{XPO}=S_{XP'O'}}{\Longrightarrow} \left\{\begin{array}{c} 4\cdot S_{XPO}= \sqrt{5}-S_{OXO'} \\ S_{XPO}=\sqrt{2}-S_{OXO'}\end{array}\right\} \Rightarrow }$\\$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{\sqrt{5}-S_{OXO'}}{4}= \sqrt{2}-S_{OXO'} \Rightarrow 3\cdot S_{OXO'}= 4\sqrt{2}-\sqrt{5} \Rightarrow \boldsymbol{S_{OXO'}= \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}}}

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!