OMG-2018-P1

Enunciado

Sexan $a,b\ge 1$ con $a,b\in \mathbb{N}$ sendo $D$ o seu máximo común divisor e $M$ o seu mínimo común múltiplo. Demostrar: $D+M\ge a+b.$

---

Resolución

Pista

Empregar a descomposición de $a$ e $b$ en potencias de números primos.

Solución

Polo teorema fundamental da aritmética sabemos que todo enteiro positivo maior que 1 ten unha factorización única como produto de primos. Empregando isto, podemos escribir $a$ e $b$ como: $a=p_1^{k_1}\cdot \cdots \cdot p_n^{k_n}=\tilde{a}\cdot x,\text{e}b=q_1^{h_1}\cdot \cdots \cdot q_m^{h_m}=\tilde{b}\cdot x.$ Deste xeito, descompoñemos $a$ no produto dos factores primos que non están en $b$, denotado por $\tilde{a}$, e dos que comparten, denotado por $x$. Logo de facer o mesmo para $b$ con $\tilde{b}$ e $x$, vemos que: $M=\tilde{a}\cdot x\cdot \tilde{b},\text{e}D=x,$ polo tanto: $M\cdot D=\tilde{a}\cdot x\cdot \tilde{b}\cdot x=a\cdot b.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!