OMG-2020-P4

Enunciado

Consideramos o polinomio $p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$ Demostrar que $p(x)\ge 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ se e só se, $a=b=c$.

---

Resolución

Solución

En primeiro lugar, observamos que cando $a=b=c$ tense que $p(x)=3(x-a{)}^2$, que claramente satisfai $$\begin{gathered} p(x) \\ \ge 0 \end{gathered}$$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Supoñamos agora que $$\begin{gathered} p(x) \\ \ge 0 \end{gathered}$$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Desenvolvendo a expresión como un polinomio cadrático, obtemos que: $p(x)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca\ge 0$ En particular, isto quere dicir que o discriminante do polinomio, $\Delta$, é menor ou igual ca 0. Dito discriminante pódese obter como: $\Delta =4(a+b+c{)}^2-12(ab+bc+ca)=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ Polo tanto, temos que $0\ge 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$ E de aquí séguese que necesariamente $a=b=c$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!