OMG-2022-P4

Enunciado

Atopar todos os polinomios $p(x)$ con coeficientes reais tales que $p(x)+p(y)+p(z)+p(x+y+z)=p(x+y)+p(y+z)+p(z+x)$ para calesquera números reais $x,y,z$.

---

Resolución

Pista

Chegar a unha expresión sinxela nunha variable e restrinxir o grao do polinomio.

Solución 1

Avaliando $(x,y,z)=(0,0,0)$ chegamos a que $p(0)=0.$ Ademais, evaluando $(x,y,z)=(x,x,-x)$ obtemos $3p(x)+p(-x)=p(2x)$ Sexa $n\in \mathbb{N}$ o grao de p e escribimos $p(x)={\sum }_i{a}_i{x}^i$. Comparando os coeficientes do termo $x^n$ na expresión anterior chegamos á seguinte igualdade: $3+(-1{)}^n=2^n$ Se n é par, temos que $n=2$. Para n impar chegamos a que $n=1$. Así, p é necesariamente da forma $p(x)=a{x}^2+bx\text{, }a,b\in \mathbb{R}$ É sinxelo comprobar que estos polinomios cumpren a condición do enunciado. De feito pola linealidade da condición basta comprobar que $x$ e $x^2$ cumpren o pedido.

Solución 2

É sinxelo comprobar que se $p$ e $q$ son dous polinomios que verifican a condición e $\lambda \in \mathbb{R}$, $f+\lambda g$ tamén verifica a condición. Así, só temos que comprobar que monomios cumpren a condición.

Se $p(x)=c$, $4c=3c⟺c=0$.

Se $p(x)=x$, trivialmente tense a condición.

Se $p(x)=x^2$, $x^2+y^2+z^2+(x+y+z{)}^2=2x^2+2y^2+2z^2+2(x+y+yz+zx)=(x+y{)}^2+(y+z{)}^2+(z+x{)}^2$ e, polo tanto, $p$ cumpre a condición.

Se $p(x)=x^k,k\ge 3$, tomando $x=y=z=1$, o lado esquerdo é $1+1+1+3^k=3(3^{k-1}+1)$ e o lado dereiro é $2^k+2^k+2^k=3\cdot 2^k$, polo que $p$ cumpre a condición se e só se $3^{k-1}+1=2^k$, que acontece se e só se $k=1,2$, polo que $p$ non cumpre a condición.

Así, $p$ cumpre a condición se e só se $p(x)=a{x}^2+bx$ para $a,b\in \mathbb{R}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!