OMG-2024-P1

Enunciado

Determinar o menor enteiro positivo $n$ tal que a suma dos $n$ termos $A(n)=1+11+111+\cdots +11\dots 11$ sexa divisíbel por 45.

---

Resolución

Solución

Para que $A(n)$ sexa múltiplo de 5, a última cifra debe ser ou 0 ou 5, co que $n$ ten que ser múltiplo de 5. Para que sexa múltiplo de 9, observamos que $A(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\text{ (mod 9)}$ co que, ou ben, $n$, ou ben, $n+1$ é múltiplo de 9. Se $n$ é múltiplo de 9, o menor $n$ posíbel é 45. Se 9 divide a $n+1$, hai que determinar o menor $n$ tal que $n$ é múltiplo de 5 e $n+1$ múltiplo de 9. É inmediato comprobar que $n=35$. Polo tanto, 35 é o número buscado.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!