OMOUS-2022-Teams-P9+

Enunciado

Atopa todas as funcións diferenciables $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que cumpran que para todo par de números reais $x$ e $y$ $f(x+y)\ge 2024^{x}f(y)+f(x)$ tales que $f(0)=0$ e $f(1)=1$.

---

Resolución

Solución

Podemos rescribir a desigualdade como $f(x+y)-f(x)\ge 2024^{x}f(y)$. Supoñamos $y>0$. Dividindo a expresión anterior por $y$ axeitadamente obtemos: $\frac{f(x+y)-f(x)}{y}\ge 2024^x\frac{f(y)-f(0)}{y-0}.$ Se facemos tender $y$ a 0 chegamos a que $f^{\prime }(x)\ge 2024^x{f}^{\prime }(0)$. De xeito completamente análogo, se supoñemos $y<0$ e facemos $y\to 0$ chegamos que $f^{\prime }(y)\le 2024^x{f}^{\prime }(0)$. Así, $f^{\prime }(x)=2024^x{f}^{\prime }(0)$. Doutra banda, se na desigualdade inicial supoñemos $x>0$ podemos rescribir a desigualdade inicial como: $\frac{f(x+y)-f(y)}{x}\ge f(y)\cdot \frac{2024^x-1}{x}+\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$ Facendo $x\to 0$ obtemos $f^{\prime }(y)\ge f(y)\ln 2024+f^{\prime }(0)$. De xeito análogo tense que se supoñemos $x<0$ $f^{\prime }(y)\le f(y)\ln 2024+f^{\prime }(0)$, polo que concluimos que $f^{\prime }(y)=f(y)\ln 2024+f^{\prime }(0)$. Do anterior sabemos que $f^{\prime }(y)=2024^y{f}^{\prime }(0)$, é dicir: $f(y)\ln 2024+f^{\prime }(0)=2024^y{f}^{\prime }(0)$ Substituíndo $y=1$ chegamos a que $ln2024+f^{\prime }(0)=2024f^{\prime }(0)$. Integrando obtemos que $f(x)=\frac{2024^x-1}{2023}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!