CDR-Junior-2013-E2-P3

Enunciado

Atopar as solucións enteiras de:

$$85^m-n^4=4.$$

---

Resolución

Pista

Usar a identidade de Sophie Germaine.

Solución (coa identidade de Sophie Germaine)

Podemos reescribir a ecuación como $85^m=n^4+4\cdot 1^4,$ co cal podemos usar a identidade de Sophie Germaine: $85^m=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2).$ Agora, reescribamos a anterior identidade da seguinte maneira: $85^m=17^m\cdot 5^m=((n+1{)}^2+1)((n-1{)}^2+1).$ Podemos excluír o caso no que $n$ é par, no cal non coincidirían as paridades, polo que ao supoñer que $n$ é impar, $((n-1{)}^2+1)$ e $((n+1{)}^2+1)$ resultan ser coprimos, e polo tanto teremos que $5^m-1=(n-1{)}^2$ $17^m-1=(n+1{)}^2$ Isto quere dicir que $5^m-1$ e $17^m-1$ deben ser cadrados perfectos case consecutivos, é dicir con só un cadrado perfecto entre eles. No caso de $m=1$, teríamos solución con $n=3$. Se $m>1$, temos que $9^m$ e $16^m$ son dous cadrados perfectos situados entre $5^m-1$ e $17^m-1$, e polo tanto non habería solución.

É dicir, a única solución enteira é $(m,n)=(1,3)$.

Solución (factorizando)

Factorizando

$$\begin{array}{rl}85^m& =17^m\cdot 5^m\\ & =n^4+4\\ & =(n^4+4n^2+4)-4n^2\\ & =(n^2+2{)}^2-(2n{)}^2\\ & =(n^2+2n+2)(n^2-2n+2).\end{array}$$

Ademais, tense que $\text{mcd}(n^2+2n+2,n^2-2n+2)=1$ polo tanto necesariamente

$$n^2+2n+2=17^m{n}^2-2n+2=5^m.$$

Agora ben, $17^m-1=(n+1{)}^2$ e $5^m-1=(n-1{)}^2$ polo que só hai un cadrado entre estes dous números. Pero

$$5^m-1<9^m=(3^m{)}^2<16^m=(4^m{)}^2\le 17^m-1.$$

Polo que atopamos dous cadrados no medio destes números. A única posibilidade é que $m$ sexa $0$ ou $1$. Con isto temos a única solución $(n,m)=(3,1)$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!