COMGEP-S2-P19

Enunciado

Sexa $ABC$ un triángulo con $\angle ABC=45^{\circ }$. Dende $A$ trazamos o segmento $AD$, sendo $D$ un punto sobre o segmento $BC$ de tal xeito que $DC=2BD$ e $\angle BAD=15^{\circ }$. Canto vale o ángulo $\angle BCA$ ?

---

Resolución

Pista

Utilizar sucesivamente os teoremas do seno e coseno.

Solución

Aplicando o teorema dos senos ao triángulo ABD

$$\frac{x}{\sin 15^{\circ }}=\frac{c}{\sin 120^{\circ }}$$

Polo tanto despexando e calculando os valores dos senos utilizando as fórmulas do ángulo dobre

$$c=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}x$$

Destacamos o cálculo do $\sin 15^{\circ }$ porque pode ser algo elaborado:

$$\sin 15^{\circ }=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ }}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$$

Aplicando agora o teorema dos cosenos ao triángulo ABC e substituíndo o valor de $c$ temos que

$$b^2=9x^2+c^2-2\cdot 3x\cdot c\cos 45^{\circ }=6x^2$$

Por último, basta aplicar o teorema dos senos ao triángulo ABC

$$\frac{c}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin 45^{\circ }}$$

Polo tanto, tendo en conta que dividimos $c$ entre $b$, a dependencia de $x$ cancélase e podemos obter

$$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(30^{\circ }+45^{\circ }\right)=\sin 75^{\circ }$$

Finalmente concluimos que $\sin \alpha =75^{\circ }$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!