IOM-1991

Enunciado

Proba que $a^3+3a^2+a$ non é un cadrado perfecto para ningún $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

---

Resolución

Pista

Pode dividir algún primo a $a$ e a $a^2+3a+1$ á vez?

Pista

Pode estar un cadrado perfecto entre outros dous consecutivos?

Solución

$n^2=a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)$, sendo os últimos dous factores comprimos, polo que teñen que ser ambos cadrados perfectos. Así, $a=x^2$ e $a^2+3a+1=y^2$, pero $(a+1{)}^2<y^2<(a+2{)}^2$, o que non pode ser, polo que $a^3+3a^2+a$ tampouco pode ser un cadrado perfecto.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!