IrMO-2009-P5

Enunciado

Supoñamos que $a,b,c$ son números reais tales que $a+b+c=0$ e $a^2+b^2+c^2=1$. Demostra que $a^2{b}^2{c}^2\le \frac{1}{54}$.

---

Resolución

Solución 1

Supoñamos que son todos distintos de 0 (senón é trivial). Sen perda da xeneralidade, suporemos $a,b>0$ e $c=-a-b<0$. En consecuencia tense que $1=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(-a-b{)}^2=2(a^2+ab+b^2)$, de onde se conclúe que $a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}$. Doutra banda, $3ab=2ab+ab\le a^2+b^2+ab=\frac{1}{2}$, ou equivalentemente, $ab\le \frac{1}{6}$, obténdose a igualdade cando $a=b=\frac{1}{\sqrt{6}}$. Así, $c^2=a^2+2ab+b^2=\frac{1}{2}+ab\le \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$. De aquí dedúcese que $a^2{b}^2{c}^2=(ab{)}^2{c}^2\le \frac{1}{36}\frac{2}{3}=\frac{1}{54}$.

Solución 2

Imos ver outra solución empregando algunha propiedade que nos sirva para introducir a ecuación cúbica. Unha ecuación cúbica da forma $x^3+px+q=0$ denomínase ecuación cúbica reducida. A primeira persoa en atopar as solucións para este tipo de ecuacións foi Scipione del Ferro (1465-1526). Décadas máis adiante, Niccolo Fontana (Tartaglia, 1499-1557) atopou un método tamén, pero non quixo publicalo. Cardano (1501-1576) conseguiu que Tartaglia llo revelase logo de moito insistir, se ben quedou algo decepcionado por non poder resolver con el unha cúbica xeral da forma $x^3+a{x}^2+bx+p=0$. Non obstante, realizando unha certa transformación, é posible reescribila de xeito que se que obteña unha ecuación cúbica reducida, para a que xa existe de resolución. A cúbica serviu de base para a aparición dos números complexos.

Volvendo ao problema, se $0=(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+2(ab+ac+bc)$, polo que $ab+ac+bc=-\frac{1}{2}$. De aquí podemos concluír que a seguinte ecuación cúbica, que ten como raíces $a,b,c$, é unha ecuación cúbica reducida: $(x-a)(x-b)(x-c)=0⟺x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=$ $=x^3-\frac{1}{2}x-abc=0$ Nunha cúbica da forma $x^3-px-q=0$ se as raíces son reais entón tense que $27q^2\le 4p^3$, acadándose a igualdade se, e só se, hai dúas raíces iguais (e a terceira será a negativa). Neste caso esa desigualdade equivale a escribir $27(abc{)}^2\le 4(\frac{1}{2}{)}^3$, é dicir, $a^2{b}^2{c}^2\le \frac{1}{54}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!