MDC-2016-P2

Enunciado

Atopar $n>1$ enteiros tal que para calquera $d\mid n$ os números $d^2-d+1$ e $d^2+d+1$ sexan primos.

---

Resolución

Pista

• $x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
• Divide en casos de primos.

Solución

Probamos primeiro que ningún cadrado pode dividir a $n$. Se $d^2$ divide a $n$, entón $(d^2{)}^2+d^2+1$ debería ser primo, pero $d^4+d^2+1=(d^2-d+1)(d^2+d+1)$.

Entón $n=p_1\cdot p_2\cdots p_s$ con $p_1<p_2<\dots <p_s$. Sexa $p>5$ primo. Se $p\equiv 1$ (mod 6), entón $p^2+p+1\equiv 3$ (mod 6) polo que este número non sería primo. Se $p\equiv -1$ (mod 5), entón $p^2-p+1\equiv 3$ (mod 6) polo que este número non sería primo tampouco. Polo tanto, os factores de $n$ só poden ser $2$ e $3$. É sinxelo comprobar que $n=2,3,6$ satisfán a condición.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!