MSE-2324-01

Enunciado

Sexan $p$ e $q$ primos tales que $p+q^2$ é cadrado perfecto. Demostra que $p^2+q^n$ non é cadrado perfecto para ningún $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

---

Resolución

Solución $p+q^2=a^2$ para algún $a\in \mathbb{Z}$. É dicir, $p=(a+q)(a-q)$. Como $p$ é primo ou ben $a+q=1$ e $a-q=p$ ou $a+q=p$ e $a-q=1$. Podemos descartar a primeira opción xa que se $a<0$ $a+q<p$, e se $a>0$ $a+q>1$ necesariamente. En conscuencia temos que $a+q=p$ e $a-q=1$. É dicir, $a=1+q$ e, polo tanto, $p=1+2q$.

Por hipótese

Supoñamos que existe un $b\in \mathbb{Z}$ tal que $p^2+q^n=b^2$. Nese caso $q^n=(b+p)(b-p)$, é dicir $b+p=q^u$ e $b-p=q^v$ para certos $u$ e $v$ enteiros positivos tales que $u+v=n$, ($u>v$ por que $p>0$). Tense que $2p=(b+p)-(b-p)=q^v(q^{u-v}-1)$. Ou sexa, $q^v$ divide a $2p$, o que quere dicir que ou ben $v=0$ ou ben $v=1$ e $q\in \{2,p\}$. Imos ver que ambas son imposibles.

• Se $v=0$ $q^u-1=2p=2(2q+1)=4q+2$Do que se deduciría que $q$ divide a 3 (non existe solución).
• Se $v=1$ o caso $q=p$ é imposible porque xa vimos que $p=1+2q$. Só pode darse o caso no que $q=2$, é dicir, $p=5$, e a ecuación inicial quedaría $10=2(2^{u-1}-1)$, que claramente non ten solución enteira.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!