PAMO-2008-P1

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que: $f(x+y)\le f(x)+f(y)\le x+y\forall x,y\in \mathbb{R}.$

---

Resolución

Solución

$$\begin{array}{rl}& x=y=0⊢f(0)\le 2f(0)\le 0⟺f(0)=0,\\ & y=-x⊢0\le f(x)+f(-x)\le 0⟹f(-x)=-f(x)⟺f\text{ es impar},\\ & y=0⊢f(x)\le f(x)\le x⟺f(x)\le x,\\ & x=-x,y=0⊢f(-x)\le f(-x)\le -x⟺f(-x)\le -x,\\ & f\text{ impar}⊢-f(x)=f(-x)\le -x⟺f(x)\ge x.\end{array}$$

Concluimos que $f(x)=x$ é a única solución.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!