PMO-2025-Nat-P6

Enunciado

Atopa todas as función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que: $f(2f(x))=f(x-f(y))+f(x)+y$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$.

---

Resolución

Solución

Sexa $P(x,y)$ o problema do enunciado. Cómpre ver que se $f(a)=f(b)$ onde $a,b\in \mathbb{R}$, entón $P(x,a)$ e $P(x,b)$ implican $a=b$. Por isto $f$ é inxectiva. Despois, $P(x,-f(x))$ é $f(2f(x)=f(x-f(-f(x)))),$ e empregando a inxectividade obtemos: $f(-f(x))=x-2f(x).$ Agora $P(x,0)$ conleva $f(2f(x))=f(x-f(0))+f(x)$. Combinando esta igualdade con $P(x,y)$, obtemos $f(x-f(0))=f(x-f(y))+y.$ Fixando $x=0$, $f(-f(0))=f(-f(y))+y,$ e entón $f(-f(0))=2y-f(y).$ En particular, isto implica $f(y)=y+c$, para algún $c$ constante. Substituíndo en $P(x,y)$, obtemos: $2x+3c=x-y+x+y+c$ obtendo así que $c=0$. É doado ver que $f(x)=x$ funciona e que, polo tanto, é a única solución.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!