PUTNAM-1947-A2

Enunciado

Sexa $f:x\in \mathbb{R}⟶f(x)\in \mathbb{R}$ continua tal que para calquera $x,y\in \mathbb{R}$ tense que:

$$f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)$$

Proba entón que:

$$f(x)=f(1{)}^{x^2},x\in \mathbb{R}$$

---

Resolución

Solución 1: Oficial

Enlace solución oficial

Solución 2: Alternativa

Facemos $g(x^2)=f(x)$. A ecuación tradúcese en

que non é outra que a xa vista no problema anterior. Polo tanto $g(x)=e^{ax}$ con $a\in \mathbb{R}$. Así tense que as solucións do problema son

$$f(x)=g(x^2)=e^{a{x}^2}$$

Para reescribilo como nos pide o enunciado, consideramos dous casos. Se $f(1)\ne 0$ podemos reparametrizar o resultado para obter o que buscamos. Se $f(1)=0$ temos a solución identicamente nula que tamén tiñamos no outro problema.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!