SPGISMOC-C2-E12

Enunciado

Dado un triángulo $\Delta ABC$, consideremos o punto medio $M$ de $AB$ e un punto calquera $D$ do interior de $AC$ non sendo o punto medio. Sea $E$ o punto de corte da extensión de $BD$ coa recta paralela a $AB$ que pasa por $C$. Demostra que $AE,BC$ e $MD$ son concurrentes.

---

Resolución

Pista

Teorema de Ceva: Dado un triángulo $\Delta ABC$, sexan $D,E,F$ puntos no interior nos lados $AB,AC$ e $BC$ respectivamente, tal que $CD,BE$ e $AF$ son concurrentes (é decir, se extendemos os segmentos, intersecan nun único punto). Entón:

\dfrac{AD}{DB}\dfrac{BF}{FC}\dfrac{CE}{EA}=1.$$ _Cómpre ter en conta que $MN$ pode representar tanto o segmento que une os puntos como a lonxitude deste: é un abuso de notación moi común._

Solución

Demostrar que $AE,BC$ e $MD$ son concurrentes é equivalente a demostrar que, se extendemos os segmentos, intersécanse nun único punto.

Consideremos $AE$ e $BC$. Estes segmentos no son paralelos. Polo tanto, se extendemos os segmentos, intercaranse nun único punto, chamémoslle $G$.

Sexa $M^{\prime }$ a intersección de $GD$ e $AB$, posiblemente extendidos. Podemos definir este punto porque estas rectas non son paralelas.

Demostraremos que $M^{\prime }=M$. Esto implica por construcción que $AE,BC$ e $MD$ son concurrentes, polo que teríamos resolto o problema. Apliquemos o Teorema de Ceva ó triángulo $\Delta ABG$ sobre os puntos $M^{\prime },C$ e $E$, obtendo

$$\frac{A{M}^{\prime }}{M^{\prime }B}\frac{BC}{CG}\frac{GE}{EA}=1.$$

Os triángulos $\Delta ABG$ e $\Delta ECG$ son congruentes, xa que comparten o punto $G$ e os respectivos lados opuestos son paralelos pola construcción do punto $E$, polo que

\dfrac{GA}{GE}=\dfrac{BG}{CG} \iff \dfrac{GE+EA}{GE}=\dfrac{BC+CG}{CG} \iff\\ \dfrac{EA}{GE}+1=\dfrac{BC}{CG}+1 \iff \dfrac{EA}{GE}=\dfrac{BC}{CG} \iff \dfrac{BC}{CG}\dfrac{GE}{EA}=1.$$ Concluimos que

        \dfrac{AM'}{M'B}\dfrac{BC}{CG}\dfrac{GE}{EA}=\dfrac{AM'}{M'B},$$

e por ende $M^{\prime }$ é o punto medio de $AB$, é dicir, $M^{\prime }=M$.

Nota: Podedes xogar un pouco con esta configuración xeométrica no seguinte proxecto de Geogebra.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!