Th-Gersonides

Enunciado

As únicas potencias de $2$ e $3$ que son consecutivas son $(1,2),(2,3),(3,4),(8,9)$.

---

Resolución

Pista

Traballar módulo $8$.

Solución

Hai que estudar a ecuación diofántica $2^x=3^y\pm 1$. Consideremos primeiro o caso co signo máis. Reducindo módulo 8 vemos que o lado dereito da igualdade só pode valer dous e catro, mentres que o lado esquerdo vale $0$ para todo $x\ge 3$. Comprobando estos casos obtemos as solucións para potencias consecutivas $(x,y)=(1,0),(2,1)$. Pola contra, se temos a ecuación $2^x=3^y-1$. Traballando módulo $8$ xa vimos que $3^2=1$. Distinguimos pois dous casos:

• Se $y=2k+1$, $k\in \mathbb{N}$ $3^y-1=3^{2k+1}-1=3^{2k}\cdot 3-1=2\text{ (mod 8)}$ e como antes só pode ser que $x=0,1,2$. Comprobando obtemos a solución $(1,1)$.
• Se $y=2k$, $k\in \mathbb{N}$ $3^y-1=(3^k{)}^2-1=(3^k-1)(3^k+1)$ Como buscamos que isto sexa unha potencia de dous, cada factor debe ser unha potencia de dous. En particular, $3^k+1=2^r$ con $r\in \mathbb{N}$. Pero as solucións desta ecuación xa as temos estudado antes e corresponden a $(r,k)=(1,0),(2,1)$. O primeiro caso resulta en $y=0$ que implica $2^x=0$ o cal non é posible. No outro caso obtemos a última solución $(x,y)=(3,2)$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!