PAMO-2018-P2

Enunciado

Nun torneo de xadrez participan rapaces e rapazas. Hai o dobre de rapazas que de rapaces. Cada xogador xoga contra outro exactamente unha vez. Ao final do torneo, non houbo ningún empate e o ratio de vitorias de rapazas fronte vitorias de rapaces foi de $\frac{7}{9}.$ Cantos participantes houbo?

---

Resolución

Solución por Orestis_Lignos

Sexan $g_1,g_2,\dots g_{2x}$ as rapazas e $b_1,b_2,\dots ,b_n$ os rapaces. Sexan $G$ e $B$ os totais de vitorias femininas e masculinas respectivamente. En total, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{2}\right)$ partidos xogados así que houbo $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{2}\right)$ vitorias.Así, $G+B=\frac{(3x-1)3x}{2}$. Ademais, sabemos que $\frac{G}{B}=\frac{7}{9}\Rightarrow \frac{16G}{7}=\frac{(3x-1)3x}{2}.$ As partidas xogadas por dúas rapazas son $2x^2-x$ polo que, $G\ge 2x^2-x\Rightarrow \frac{(3x-1)3x}{2}\ge \frac{32x^2-16x}{7}\Rightarrow x\le 11.$ Pero temos que ter $G=\frac{21x(3x-1)}{32},$ así que $32|3x^2-x$ e como $x\le 11,$ obtemos que $x=11$, obtendo que houbo $33$ xogadores.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!