PSS-S1-E1

Enunciado

Comezando co punto do plano $S=(a,b)$, con $0<b<a$, defínese a sucesión de puntos $(x_n,y_n)$ segundo a regra: $x_0=a,y_0=b,x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=\frac{2x_n{y}_n}{x_n+y_n}.$ A que punto do plano converxe a sucesión?

---

Resolución

Pista

Tense que $x_n{y}_n=x_{n+1}{y}_{n+1}$. Como evolucionan os valores de $x_n-y_n$?

Solución $x_n{y}_n=x_{n+1}{y}_{n+1}=ab$, $\forall n\in \mathbb{N}$. Inicialmente $y_0<x_0$, vemos que en xeral este será outro \hint{invariante}. Por inducción témolo certo para $n=0$, supoñemos $y_n<x_n$ e demostrámolo para $n+1$: $0<x_{n+1}-y_{n+1}=\underset{\text{Media aritmeˊtica (MA)}}{\underbrace{\frac{x_n+y_n}{2}}}-\underset{\text{Media armoˊnica (MH)}}{\underbrace{\frac{2x_n{y}_n}{x_n+y_n}}}<\frac{x_n-y_n}{2},\forall n\in \mathbb{N}.$ Xa que, en particular, a \hypo{media aritmética} é maior que a \hypo{media armónica}. Polo tanto: ${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n={\lim }_{n\to +\infty }{y}_n=k\in \mathbb{R}.$ E como $k^2=ab$, entón $k=\sqrt{ab}$.

Atopamos o \hint{invariante}

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!