PSS-S1-E2

Enunciado

Sexa $n\in \mathbb{Z}$ impar. Un alumno escribe os enteiros $1,2,\dots ,2n$ na pizarra. Entón elixe dous en particular, $a$ e $b$, bórraos, e escribe no seu lugar $|a-b|$ (unha única vez, non na posición de $a$ e na de $b$). Probar que, ao repetir o proceso ata que só quede un número na pizarra, quedaranos un número impar.

---

Resolución

Pista

Cando realizamos unha iteración, hai algún invariante? Algo non varía? (Considerar $S$ a suma dos números da pizarra).

Solución $S$ a suma dos números escritos na pizarra. Ao principio, $S=1+2+\cdots +2n-1+2n=\frac{\cancel{2}n(2n+1)}{\cancel{2}}=n(2n+1)$, é un número impar. A cada iteración ou paso, $S$ redúcese en $2\min (a,b)$, que é un número par. Polo tanto, a paridade de $S$ é invariante. Así que, ao rematar as iteracións, o número restante $(S_n)$ tamén será impar.

Sexa

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!