PSS-S1-E3

Enunciado

Un círculo divídese en 6 seccións. Entón, escríbense os números naturais $1,0,1,0,0,0$ nos 6 sectores que se formaron. Tes unha operación que se permite incrementar o valor de dous sectores contiguos en $1$. É posible chegar a que tódolos números sexan iguais, só aplicando a operación anterior?

---

Resolución

Pista

Constrúe un invariante que non varíe ao aplicar a operación. E razona que o caso inicial e o caso obxectivo teñen distintos valores do invariante.

Solución 1: Invariante

Sexan $a_1,\dots ,a_6$ os números nos sectores. Entón definimos o invariante: $I=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-a_6.$ É invariante xa que non cambia ao aplicar a nosa operación. Na configuración inicial, temos $I=2$. Nas configuracións onde tódolos números son iguals, teríamos $I=0$. Como non podemos chegar a unha configuración onde $I\ne 2$, non podemos chegar a que tódolos números sexan iguais.

Solución 2: Proposta por Hugo $a,b,c,d,e,f$ o número de veces que aplicamos a operación aos sectores $(1,2)$, (2,3)$$\dots Entón temos que no caso de que se puidese chegar a unha configuración na que tódolos números sexan iguais, teríamos: $1+a+f=a+b=1+b+c=c+d=d+e=e+f.$ Despexando, temos que: $1+f=b\text{ e }1+b=d=f⟹1+f=b=f-1⟹2=0\text{ Absurdo!}$ Chegando a unha contradición, demostrando que non se pode chegar a unha configuración con tódolos números iguais, como se pedía.

Sexan

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!