PSS-S1-E6

Enunciado

Dado un punto de $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ tal que $0<x_0<y_0$. Defínese a recurrencia:

$$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=\sqrt{x_{n+1}{y}_n}.$$

para todo $n\in \mathbb{N}$. Atopar o valor (común) do límite:

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=x=y.$$

---

Resolución

Solución $x_n/y_n$ e $y_n-x_n$, no paso de $n$ a $n+1$. Comezando con $x_n/y_n$: $\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac{x_{n+1}}{\sqrt{x_{n+1}{y}_n}}=\sqrt{\frac{x_{n+1}}{y_n}}=\sqrt{\frac{1+x_n/y_n}{2}}.$ Esta expresión recorda á do coseno do ángulo metade:

Podemos axudarnos de atopar algún invariante na recurrencia. Aínda que serán de axuda non existe ningún método para atopalos, é algo puramente heurístico. Si existen algúns métodos que adoitan funcionar, pero non o fan sempre. Dous deles consisten en comprobar o que ocorre nas variacións de

\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}. $$ Como $0 < x_n/y_n < 1$, ten sentido considerar: $x_n/y_n = \cos(\alpha_n)$. Entón de \eqref{eq:pss.s1.e6-1} deducimos:

\cos\left(\alpha_{n+1}\right) = \cos\left(\frac{\alpha_n}{2}\right) \implies \alpha_n = \frac{\alpha_0}{2^{n}} \implies 2^{n}\alpha_n = \alpha_0.

$$Sendoequivalenteaque:$$

2^{n} \cdot \arccos\left(\frac{x_n}{y_n}\right) = \arccos\left(\frac{x_0}{y_0}\right),

undefined

y_{n+1}^{2} - x_{n+1}^{2} = \frac{y_n^{2}-x_n^{2}}{4} \implies 2 \sqrt{y^{2}{n+1} - x{n+1}^{2}} = \sqrt{y^{2}_{n} - x_n^{2}},

$$ou:$$

2^{n} \sqrt{y_n^{2}-x_n^{2}} = \sqrt{y_0^{2}-x_0},

que é o noso segundo invariante. Tendo en conta que se: ![[pss-s1-e6-arccos-arcsen.png|300]] Entón: $\arccos(t) = \arcsin(s)$, onde: $s = \sqrt{1-t^{2}}$. Con isto temos:

\arccos\left(\frac{x_0}{y_0}\right) = 2^{n} \cdot \arccos\left(\frac{x_n}{y_n}\right) = 2^{n} \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{y_n^2-x_n^2}}{y_n}\right) = 2^{n}\cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{y_0^{2}-x_0^{2}}}{2^{n}y_n}\right).

undefined

x = y = \frac{\sqrt{y_0^2-x_0^2}}{\arccos(x_0/y_0)}.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!