SEM-2324-1

Enunciado

Antón escribiu na pizarra os seguintes números: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{14022024}$ Pide un voluntario, e sae á pizarra Martín. Explícalle a Martín que ten que escoller dous números ao azar da pizarra, $a$ e $b$, e calcular $a+b+ab$. Logo ten que borrar $a$ e $b$ da pizarra e engadir o resultado das contas anteriores. Martín repite este proceso un bo rato ata que só queda un número na pizarra. Antón ensínalle unha predición que tiña feita con anterioridade que, para a non sorpresa de Martín, que xa coñecía as habilidades matemáticas de Antón, é o número que quedou finalmente no encerado. Cal é o devandito número e como fixo Antón para predicilo con anterioridade?

---

Resolución

Solución

$a+b+ab=(1+a)(1+b)-1$. En realidade, polo tanto, o que se está a facer sumar a todos os números unha unidade e logo multiplicalos entre si, para finalmente restarlles 1. Por exemplo, se na pizarra só escribísemos 3 números $a,b,c$ e (sen perda da xeralidade) comezamos operando os dous primeiros no encerado quedarían $ab+a+b,c$. Repetindo o proceso teriamos $ab+a+b+c+abc+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-1$. Recursivamente queda claro que isto se cumpre para calquera cantidade finita de números elixidos por ser a “operación” conmutativa e asociativa.

Para calcular agora o resultado empregaremos indución. Imaxinemos que temos k números escritos ao comezo da forma $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \frac{1}{k}$ comprobaremos que despois de todo o proceso obteremos $k$. En efecto, para $k=1,2$ é trivial. Supoñámolo certo para $k=n$ e vexamos que se verifica para $k=n+1$. En efecto, se escribimos na pizarra $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \frac{1}{k},\frac{1}{k+1}$ e realizamos o proceso con todos os números agás o derradeiro remataremos por obter (pola hipótese de indución) $k,\frac{1}{k+1}$ (isto pode facerse sen perda da xeralidade pola conmutatividade e asociatividade da “operación”). O resultado final é claramente $k+1$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!