SID-2324-P1

Enunciado

Probar que $n^4+4^n$ nunca é primo se $n\ge 2$.

---

Resolución

Pista

Usar a identidade de Sophie Germaine.

Solución

Primeiro, notar que se $n$ é par, entón tamén o é $n^4+4^n>2$ e non sería primo. Podemos supoñer entón que $n$ é impar, é dicir, $n=2m+1$, con $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$. $n^4+4^n=(2m+1{)}^4+4^{2m+1}=(2m+1{)}^4+4\cdot (2^m{)}^4.$ Usando a identidade de Sophie Germaine, $n^4+4^n=((2m+1{)}^2+2^{m+1}(2m+1)+2^{2m})((2m+1{)}^2-2^{m+1}(2m+1)+2^{2m}).$ Se $m>1$, cada un dos factores é maior ca 1 e por tanto non pode ser primo. No caso de $m=1$, $n^4+4^n=3^4+4^3=145$, que tampouco é primo.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!