SID-2324-P2

Enunciado

Sexa $n\in \mathbb{Z}$ un impar tal que $n>1$. Probar que a suma:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n-1}{2}}\right),$$

é impar.

---

Resolución

Pista

Pensar na forma das filas to triángulo de Pascal.

Solución

Tendo en conta que as filas do triángulo de Pascal son simétricas e suman $2^n$, temos: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n-1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)\right]=\frac{1}{2}(2^n-2)=2^{n-1}-1,$ que é un número impar.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!