SID-2324-P7

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:x\in \mathbb{R}⟶f(x)\in \mathbb{R}$ continuas que cumpren que para calquera $x,y\in \mathbb{R}$

$$f(x+y)=f(x)f(y)$$

---

Resolución

Solución

Definimos $g=log\circ f$. A ecuación funcional queda da seguinte forma tras aplicar as propiedades do logaritmo. $g(x+y)=g(x)+g(y)$ $g$ verifica entón a ecuación de Cauchy, cuxas solucións coñecemos. Polo tanto, $g(x)=ax\text{ g continua}\Rightarrow f(x)=e^{ax}$ onde $a\in \mathbb{R}$ é unha constante arbitraria. Adicionalmente temos a solución $f\equiv 0$ que queda fóra do razoamento anterior por ter o logaritmo unha singularidade aí.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!