SID-2526-P3

Enunciado

Proba que $n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, e determinar cando se dá a igualdade.

---

Resolución

Pista

Canto vale a media de $1,2,\dots ,n$?

Solución

$n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n⟺(n!{)}^{\frac{1}{n}}\le \frac{n+1}{2}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}k$ E a última desigualdade é certa pola desigualdade aritmético-xeométrica. Ademais, a igualdade dase cando todos os números entre $1$ e $n$ son iguais. Como $1\ne 2$, isto só pasa cando $n=1$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!