SK-Fin-2022-P2

Enunciado

Atopa todas as funcións $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que: $f(x+zf(y))=zf(y)+f(x),$ para todo $x,y,x\in \mathbb{R}.$

---

Resolución

Solución

Para $x=0$ temos $f(zf(y))=zf(y)+f(0).$ Ou ben $f\equiv 0$ (é dicir, $f(x)=0$ para todo $x$), ou ben existe $y_0\in \mathbb{R}$ tal que $f(y_0)\ne 0.$ Supoñamos que existe tal $y_0$. Se $t$ é un número real arbitrario, podemos atopar $z_t$ tal que $z_{t}f(y_0)=t$ e deste xeito: $f(t)=t+f(0).$ Polo tanto, todas as solucións que non son identicamente iguais a $0$ teñen a forma $f(t)=t+C,$ para algún $C$ real. A substitución mostra que todas as funcións $f(t)=t+C,$ para algún $C$ real, son solucións, e que $f\equiv 0$ é unha solución. Así, atopamos todas as solucións.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!