BMC-2020-P1

Enunciado

Sexa $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ unha matriz invertible que verifica que $\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0$. Probar que entón

$$\det (A+A^{-1})=\det (A)+\det (A^{-1}).$$

---

Resolución

Solución

Sexan ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ e ${\alpha }_3$ os autovalores de $A$, como a traza é a suma dos autovalores temos que ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$. De xeito análogo, como $\text{tr}(A^2)=0$, ${\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2+{\alpha }_3^2=0$. Sabendo que dados $a,b,c\in \mathbb{R}$ $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,$ temos que ${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_3=\frac{1}{2}[({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3{)}^2-({\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2+{\alpha }_3^2)]=0.$ Consideramos

$$\begin{array}{rl}{p}_A(x)& =x^3-({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)x^2+({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_3)x-{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\\ & =x^3-{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3,\end{array}$$

de xeito que pola propia definición de autovalor, ${\alpha }_i^3=\prod _{i=1}^3{\alpha }_i$. Como $A$ é invertible o determinante é non nulo, logo os autovalores son todos distintos de cero. Así, ${\alpha }_i^2=\prod _{j\ne i}{\alpha }_j$. Polo tanto

$$\begin{array}{rl}det(A+A^{-1})& =\prod _{i=1}^3\left({\alpha }_i+\frac{1}{{\alpha }_i}\right)\\ & =\prod _{i=1}^3\left(\frac{{\alpha }_i^2+1}{{\alpha }_i}\right)\\ & =\frac{({\alpha }_1{\alpha }_2+1)({\alpha }_2{\alpha }_3+1)({\alpha }_3{\alpha }_1+1)}{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3}\\ & =\frac{({\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{)}^2+{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)+{\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_3+1}{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3}\\ & =\frac{({\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{)}^2+1}{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3}\\ & =\prod _{i=1}^3{\alpha }_i+\prod _{i=1}^3\frac{1}{{\alpha }_i}\\ & =\det (A)+\det (A^{-1}).\end{array}$$

Das dúas primeiras igualdades conclúense de que $A+A^{-1}=A^{-1}\cdot (A^2+I_n)$, logo $\det (A+A^{-1})=\det (A^{-1})\cdot \det (A^2+I_n)$, é dicir $\frac{1}{{\alpha }_1\cdot {\alpha }_2\cdot {\alpha }_3}\cdot ({\alpha }_1^2+1)\cdot ({\alpha }_2^2+1)\cdot ({\alpha }_3^2+1)=\prod _{i=1}^3({\alpha }_i+\frac{1}{{\alpha }_i}).$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!