BMO-2023-P1

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}.$

---

Resolución

Pista

Substitúe valores de $x$ e $y$, concretamente $x=0$ e $x=y$. Considerando as ecuacións obtidas de estas dous substitucións, intenta argumentar segundo a inxectividade (ou non) de $f$.

Solución

Se substituímos $x=0$ obtemos $0=yf(f(0))\forall y\in \mathbb{R},$

e como isto ten que cumprirse para todo $y$ real, temos que $f(f(0))=0$.

Por outro lado, substituíndo $x=y$ na ecuación funcional:

$xf(x+f(x))=0\forall x\in \mathbb{R}⟹f(x+f(x))=0\forall x\in \mathbb{R}.$

Supoñamos entón que $f$ é inxectiva, polo tanto

$$\begin{array}{cc}& f(f(0))=0=f(x+f(x))\forall x\in \mathbb{R}⟹\\ & f(0)=0=x+f(x)\forall x\in \mathbb{R}⟹\\ & f(x)=f(0)-x\forall x\in \mathbb{R}.\end{array}$$

Por ende, se $f$ é inxectiva obtemos a familia de solucións $f(x)=c-x$, con $c\in \mathbb{R}$ constante real calquera.

Vexamos entón cando $f$ é inxectiva. Supoñamos que $f(y)=f(y^{\prime })$, entón é obvio que

$xf(x+f(y))=xf(x+f(y^{\prime }))\forall x\in \mathbb{R},$

e pola ecuación funcional temos que

$(y-x)f(f(x))=(y^{\prime }-x)f(f(x))\forall x\in \mathbb{R}⟺(y-y^{\prime })f(f(x))=0\forall x\in \mathbb{R}.$

Nótese entón que se existe algún $\xi \in \mathbb{R}$ tal que $f(f(\xi ))\ne 0$, teremos que $y=y^{\prime }$ e polo tanto $f$ será inxectiva. Neste caso xa sabemos que obtemos a familia de solucións $f(x)=c-x$, polo que agora temos que estudar o caso en que $f$ non é inxectiva, é dicir, cando $f(f(x))=0$ para todo $x\in \mathbb{R}$.

Supoñamos entón que $f(f(x))=0$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Pola ecuación funcional temos que

$xf(x+f(y))=0\forall x,y\in \mathbb{R}⟹f(x+f(y))=0\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast },\forall y\in \mathbb{R}.$

Agora ben, debido a que $f(f(x))=0$ para todo $x\in \mathbb{R}$, temos en xeral que

$f(x+f(y))=0\forall x,y\in \mathbb{R}.$

É fácil ver que isto implica que $f$ é identicamente nula: sexa $\eta \in \mathbb{R}$ arbitrario, entón tomando $x=\eta$ e $y=0$ temos que $f(\eta )=0$.

Concluimos que as solucións da ecuación funcional son $f(x)=0$ e $f(x)=c-x$, con $c\in \mathbb{R}$ constante.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!