BS-2526-X1-N1-P2

Enunciado

Demostra que existen infinitos números primos.

---

Resolución

Solución Clásica

Supoñamos que é falso. Neste caso, existe un número finito de números primos, que son $p_1,p_2,\dots ,p_n$. Consideremos $N=p_1{p}_2\cdots p_n$. Se $p_i|N+1,1\le i\le n$, $p_i$ dividiría a $1$, por dividir a $N$ e $N+1$, pero isto non pode ser, polo que ten que haber un primo distinto que divida a $N+1$, chegando a contradición de que $p_1,p_2,\dots ,p_n$ eran todos os primos que había.

Solución Clásica con aritmética modular

Supoñamos que é falso. Neste caso, existe un número finito de números primos, que son $p_1,p_2,\dots ,p_n$. Consideremos $N=p_1{p}_2\cdots p_n$. Entón, $N+1\equiv 1\mathrm{mod}{p}_i,1\le i\le n$, $p_i$, pero isto non pode ser (por que así ningún o divide), polo que ten que haber un primo distinto que divida a $N+1$, chegando a contradición de que $p_1,p_2,\dots ,p_n$ eran todos os primos que había.

Solución de Cazador $\ast$

$\mathbb{Z}$ é un dominio de ideais principais, polo que $p$ é primo se e só $(p)$ é un ideal primo. Se hai unha cantidade finita de primos, $\{(p_i)/1\le i\le n\}$ é o conxunto de tódolos ideais primos non nulos. Por ser $\mathbb{Z}$ un dominio de ideais principais, estes ideais son maximais.

Consideramos agora $J={\cap }_{1\le i\le n}(p_i),$ que é o radical de Jacobson. Como hai unha cantidade finita de primos, $J=(\text{mcd}(p_1,\dots ,p_n))$, que é un ideal non nulo. $J$ ten a propiedade de que $x\in J$ se e só se $1-xy$ é unha unidade para todo $y\in \mathbb{Z}$, obtendo unha cantidade infinita de unidades en $\mathbb{Z}$, chegando xa a unha contradición, xa que en $\mathbb{Z}$ as únicas unidades son o $1$ e o $-1$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!