FEHTST-E2_12_8'

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:{\mathbb{R}}^m⟶{\mathbb{R}}^n$ tal que existe $K\in {\mathbb{R}}^{+}$ de tal xeito que $||f(x)-f(y)||\le K||x-y|{|}^2$ para todo $x,y\in {\mathbb{R}}^m$.

---

Resolución

Pista

Considerar dous puntos arbitrarios e unha partición entre eles. A condición reduce de forma considerable as distancias. Outra opción é pensar na derivada.

Solución

Sexan $a,b\in {\mathbb{R}}^m$. Consideramos unha partición do segmento $L[a,b]$ tal que

$$x_i=a+\frac{b-a}{n}i$$

Así, temos que, aplicando a desigualdade triangular e a condición do enunciado:

$$\begin{array}{r}\Vert f(b)-f(a)\Vert \le \sum _i\Vert f(x_i)-f(x_{i-1})\Vert \le \sum _{i}K\Vert x_i-x_{i-1}{\Vert }^2=\\ =\sum _{i}K\frac{\Vert b-a{\Vert }^2}{n^2}=K\frac{\Vert b-a{\Vert }^2}{n}\stackrel{n\to \infty }{\to }0\end{array}$$

Polo tanto, $f$ debe ser necesariamente constante.

Solución 2

$0\le {\lim }_{y\to x}\frac{||f(y)-f(x)||}{||y-x||}\le {\lim }_{y\to x}K||y-x||=0$ Polo tanto, $f$ diferenciable e a súa diferencial é a aplicación $0$ en todo punto. En consecuencia, $f$ é constante.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!