FEHTST-E3_9_3

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ continuas tal que $f(\cos x)=f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}$.

---

Resolución

Pista

Usar o método de punto fixo.

Solución

Por inducción temos $f(x)=f({\cos }^{n}x)$ para todo $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Sabemos que ${\lim }_{n\to \infty }{\cos }^{n}x=x_0$ con $x_0$ o único punto fixo do coseno para calquera $x\in \mathbb{R}$ de partida (comprobar). Así,

$$f(x_0)=f(\lim {\cos }^{n}x)=\lim f({\cos }^{n}x)=f(x)$$

polo que $f$ é unha función constante.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!