IMC-2004-D1-P1

Enunciado

Sexa $S$ un subconxunto infinito de números reais tal que $|s_1+s_2+\cdots +s_k|<1$ para calquera colección finita $\{s_1,s_2,\dots ,s_k\}\subset S$. Demostra que $S$ é numerable.

---

Resolución

Solución

Definimos, para cada $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, os conxuntos $S_n=S\cap (\frac{1}{n},1)$ (en $S$ non pode haber elementos con valor absoluto superior a 1). Como $S_n\subset S$, pola hipótese do enunciado para as coleccións finitas de $S$, deducimos o cardinal de $S_n$ é menor ca $n$ ($|S_n|<n$), xa que se $a\in S_n$ entón tense que $|a_n|\ge \frac{1}{n}$, logo haberá como moito $n-1$ elementos. De xeito completamente análogo definimos $S_{-n}=S\cap (-1,\frac{-1}{n})$, e razoando igualmente obtense que $|S_{-n}|<n$. Como $S\subset \{0\}\bigcup _{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}(S_n\cup S_{-n})$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!