IMC-2004-D2-P1

Enunciado

Sexan $A$ unha matriz $4\times 2$ e $B$ unha matriz $2\times 4$ tales que

$$AB=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right),$$

Atopa o valor de $BA$.

---

Resolución

Solución

Sexan $A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)$ e $B=\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\end{array}\right)$, onde $A_1,A_2,B_1,B_2$ son matrices $2\times 2$. Enton $A=$ $\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{cc}{A}_1{B}_1& A_1{B}_2\\ A_2{B}_1& A_2{B}_2\end{array}\right)$. De todo isto obtemos que $A_1{B}_1=A_2{B}_2=I_2\text{ e }{A}_1{B}_2=A_2{B}_1=-I_2.$ De aquí concluimos facilmente cales matrices son mutuamente inversas (salvo signo). Polo tanto,

$$BA=\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)=A_1{B}_1+A_2{B}_2=2I_2.$$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!