IMC-2022-D1-P1

Enunciado

Sexa $f:[0,1]⟶{\mathbb{R}}^{+}$ integrable e tal que $f(x)f(1-x)=1$ para todo $x\in [0,1]$. Probar que

$${\int }_0^{1}f(x)dx\ge 1$$

---

Resolución

Pista

Utilizar a desigualdade AM-GM.

Solución (AM-GM)

Da desigualdade AM-GM ($f(x)>0$) tense que

$$\frac{f(x)+f(1-x)}{2}\ge \sqrt{f(x)f(1-x)}=1$$

Agora ben, un simple cambio de variable amosa que

$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}f(1-x)dx$$

Así, basta integrar ámbolos dous membros da desigualdade para obter o resultado buscado.

Solución (Cauchy-Schwarz)

A desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${\mathcal{L}}^2([0,1])$ dá

$${\left({\int }_0^{1}fg\right)}^2\le {\int }_0^1{f}^2{\int }_0^1{g}^2$$

Como antes e usando a hipótese:

$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}f(1-x)dx={\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx$$

Polo tanto, usando a positividade de $f$ e Cauchy-Schwarz (con $f=\sqrt{f},g=\frac{1}{\sqrt{f}}$)

$${\left({\int }_0^{1}f(x)dx\right)}^2={\int }_0^{1}f(x)dx{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx\ge {\left({\int }_0^{1}1dx\right)}^2=1$$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!