OIMU-2016-P1

Enunciado

Sexa $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ unha función continua e estritamente crecente. Probar que as seguintes condicións son equivalentes:

• $f(x)\in \mathbb{Z}⟺x\in \mathbb{Z}$.
• $\lfloor f(x)\rfloor =f(\lfloor x\rfloor )$ $\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$.

---

Resolución

Solución

b) $⟹$ a) Se $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ é trivial deducir que $f(x)\in \mathbb{Z}$. Entón sexa $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ tal que $f(x)\in \mathbb{Z}$ e $\lfloor x\rfloor <x$. Por b) temos que $f(x)=f(\lfloor x\rfloor )=\lfloor f(x)\rfloor$, pero como f é estritamente crecente, se $\lfloor x\rfloor$ implica que $f(\lfloor x\rfloor )<f(x)$, o cal contradi a nosa hipótese, logo $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) $⟹$ b) De novo, se $x\in \mathbb{Z}$ dedúcese trivialmente a igualdade buscada. Supoñamos entón que $x\in {\mathbb{R}}^{+}\setminus {\mathbb{Z}}^{+}$. Nese caso é claro que $\lfloor x\rfloor <x<\lfloor x\rfloor +1$. Como $f$ é estritamente crecente $f(\lfloor x\rfloor )<f(x)<f(\lfloor x\rfloor +1)$. Como $\lfloor x\rfloor$ e $\lfloor x\rfloor +1$ son enteiros por hipótese as súas imaxes tamén o serán. Polo tanto, $f(\lfloor x\rfloor )=\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor \le \lfloor f(x)\rfloor <f(x)<\lfloor f(\lfloor x\rfloor +1)\rfloor =f(\lfloor x\rfloor +1)$ Se $f(\lfloor x\rfloor )=\lfloor f(x)\rfloor$ xa estaría. Senón $f(\lfloor x\rfloor )<\lfloor f(x)\rfloor <f(\lfloor x\rfloor +1)$ e polo Teorema dos Valores Intermedios existirá un $y\in (\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor +1)$ tal que $f(y)=\lfloor f(x)\rfloor$, pero entón $y\in \mathbb{Z}$, o cal é absurdo.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!